题目内容
设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上，记
=λ．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是
| D1P |
| D1B |
（
，1）
| 1 |
| 3 |
（
，1）
．| 1 |
| 3 |
分析：建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即
•
＜0，从而可求λ的取值范围．
| PA |
| PC |
解答：解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
∴
=（1，1，-1），∴
=（λ，λ，-λ），
∴
=
+
=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）
=
+
=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0
∴
•
＜0
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）2=（λ-1（3λ-1）＜0，得
＜λ＜1
因此，λ的取值范围是（
，1）
故答案为：（
，1）
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
∴
| D1B |
| D1P |
∴
| PA |
| PD1 |
| D1A |
| PC |
| PD1 |
| D1C |
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0
∴
| PA |
| PC |
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）2=（λ-1（3λ-1）＜0，得
| 1 |
| 3 |
因此，λ的取值范围是（
| 1 |
| 3 |
故答案为：（
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．
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