Question

【题目】设点P是直线上一点，过点P分别作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、 B为切点.

（1）若点A的坐标为，求点P的横坐标；

（2）直线AB是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， （2）直线AB过定点，定点为，理由见解析.

【解析】

（1）求出切线的方程后，将的纵坐标代入可求得横坐标；
(2)设，求出过两点的抛物线的切线方程，将点坐标分别代入切线方程进行比较分析，可得直线直线AB是过定点，得出答案.

(1) 抛物线化为，则.

由，则过点的抛物线的切线的斜率为：.

所以直线的方程为：即：.

当时，，所以.

点P的横坐标为

(2) 直线AB是过定点.

由题意设

则

由（1）可知，，

则切线的方程为：，即

所以切线的方程为：

切线的方程为：

又切线PA、PB交于点，设

则有，说明点满足方程.

即点在直线上.

又，说明点满足方程.

即点在直线上.

所以两点都在直线上，

则直线的方程为：

又直线过定点.

所以直线AB过定点.