Question

一束光线从点F₁(－1，0)出发，经直线l：2x－y＋3＝0上一点P反射后，恰好穿过点F₂(1，0)．

(Ⅰ)求点F₁关于直线l的对称点的坐标；

(Ⅱ)求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆C的方程；

(Ⅲ)设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q到F₂的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设的坐标为，则且．……2分 　　解得，因此，点的坐标为．…………………4分 　　(Ⅱ)，根据椭圆定义， 　　得，……………5分 　　，． 　　∴所求椭圆方程为．………………………………7分 　　(Ⅲ)，椭圆的准线方程为．…………………………8分 　　设点的坐标为，表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离． 　　则，． 　　，……………………………10分 　　令，则， 　　当，，，． 　　∴在时取得最小值．………………………………13分 　　因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分 　　注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得． 　　说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．