Question

16．求下列函数的值域：
（1）y=x+$\sqrt{2x-1}$
（2）y=$\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}$．

Answer 1

分析 （1）可令$\sqrt{2x-1}=t$，（t≥0），从而将原函数变成y=$\frac{1}{2}（t+1）^{2}$，从而根据t≥0，求该二次函数的值域即可；
（2）将原函数变成$y=2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$，而配方x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，从而求$\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}$的范围，从而得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：（1）令$\sqrt{2x-1}=t$，t≥0，则x=$\frac{1}{2}（{t}^{2}+1）$；
∴$y=\frac{1}{2}（{t}^{2}+1）+t=\frac{1}{2}（t+1）^{2}$；
∵t≥0；
∴t+1≥1，$\frac{1}{2}（t+1）^{2}≥\frac{1}{2}$；
∴原函数的值域为：$[\frac{1}{2}，+∞）$；
（2）$y=\frac{2{x}^{2}+4x-7}{{x}^{2}+2x+3}=\frac{2（{x}^{2}+2x+3）-13}{{x}^{2}+2x+3}$=$2-\frac{13}{{x}^{2}+2x+3}$；
∵x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+2x+3}≤\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{9}{2}≤y＜2$；
∴原函数的值域为：$[-\frac{9}{2}，2）$．

点评 考查值域的概念，换元求函数值域，及分离常数求函数值域的方法，配方求二次函数的值域，应用换元时，要求出所换变量的范围．