Question

4．在半径为10dm，圆心角为变量2θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）的扇形OAB内作内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，当圆Q的面积取得最大值时，sinθ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设圆q半径为x，圆p半径为y，则由三角形相似可得$\frac{x}{y}=\frac{10-x-2y}{10-y}$，求出x，利用配方法，求圆q半径的最大值，即可求出sinθ的值．

解答 解：设圆Q半径为x，圆P半径为y，则
由三角形相似可得$\frac{x}{y}=\frac{10-x-2y}{10-y}$，
∴x=-$\frac{1}{5}$y²+y=-$\frac{1}{5}$（y-$\frac{5}{2}$^）2+$\frac{5}{4}$，
∴y=$\frac{5}{2}$时，圆Q半径的最大值为$\frac{5}{4}$，
∴OQ=$\frac{15}{4}$，
∴sinθ=$\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评 本题考查扇形OAB内做一内切圆，考查三角形相似，考查配方法的运用，属于中档题．