Question

【题目】已知函数在单调递增，其中．

（1）求的值；

（2）若，当时，试比较与的大小关系（其中是的导函数），请写出详细的推理过程；

（3）当时， 恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）略 （3）

【解析】试题分析：函数在某区间上单调递增，只需函数的导数大于零在此区间上恒成立，利用恒成立极值原理求出满足的条件，求出的值；第二步比较大小可以转化为研究函数的单调性和极值问题去解决，第三步可以利用作差法构造函数，通过利用导数研究函数单调性和极值，达到证明不等式的目的.

试题解析：

（1）∵在单调递增，

∴ 在上恒成立，即（）恒成立，

∵当时， ，

∴，又，∴，

∴，∴．

（2）由（1）可知，

∴，∴，

∴，

令， ，

∴， ，

∴在上单调递增，∴，

令，则在单调递减，

∵， ，

∴，使得在单调递增，在单调递减，

∵， ，

∴，

∴，

又两个函数的最小值不同时取得，

∴，即．

（3）∵恒成立，即恒成立，

令，则，

由（1）得，即（），∴（），

即（），∴，

∴，

当时，∵，∴，

∴单调递减，∴，符合题意；

当时， 在上单调递增，

∴，

∴单调递增，∴符合题意，

当时， ，∴在上单调递增，

又，且， ，

∴在存在唯一零点，

在单调递减，在单调递增，

∴当时， ，

∴在单调递减，∴，不合题意．

综上， ．