Question

【题目】如图所示，在等腰直角三角形中， ， 为的中点，点在上，且，现沿将折起到的位置，使，点在上，且.

(1)求证： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量即可证得平面；

(2)求得平面的法向量，结合夹角公式可得二面角的余弦值是.

试题解析：

(1)因为， ，所以建立以点为原点，分别以所在直线为轴的空间直角坐标系，如图所示.

则， ， ， .

易知为平面的一个法向量，

又因为，所以，

又平面，所以平面.

(2)由(1)知， ， ， ，

设平面的法向量为，

则，即.

令，解得为平面的一个法向量，

又因为为平面的一个法向量，所以，

所以二面角的余弦值为.