Question

若（ax+2b）⁶的展开式中x³与x⁴的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0
（1）当a=1时，求（ax+2b）⁶的展开式中二项式系数最大的项；
（2）令F(a，b)=

b3+16

a

，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由二项式定理可得（ax+2b）⁶的展开式中含x³与含x⁴的项的系数，由已知可得得a=2b，把a=1代入，由二项式系数的特点可得答案；
（2）可得F(a，b)=

b3+16

a

=

b2

2

+

8

b

，构造函数F（x）=

x2

2

+

8

x

，x＞0，利用导数可得函数的最值，进而可得答案．

解答：解：（1）（ax+2b）⁶的展开式中含x³的项为

C

3 6

(ax)3(2b)3，
故其系数为8

C

3 6

a3b3=160a³b³，
含x⁴的项为

C

4 6

(ax)4(2b)2，系数为4

C

4 6

a4b2=60a⁴b²，
故可得

160a3b3

60a4b2

=

4

3

，解得a=2b，
所以当a=1时，（ax+2b）⁶=（x+1）⁶展开式中二项式系数最大的项为：
T₄=

C

3 6

x3=20x³
（2）由a=2b＞0，F(a，b)=

b3+16

a

=

b2

2

+

8

b

，
构造函数F（x）=

x2

2

+

8

x

，x＞0
求导数可得F′（x）=x-

8

x2

，
令F′（x）＞0，可解得x＞2，令F′（x）＜0，可解得0＜x＜2，
故函数F（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增，
故可得F（a，b）的最小值为F（2）=6

点评：本题考查二项式定理的应用，以及用导数求函数闭区间的最值，属中档题．