Question

已知双曲线c：－＝1(a＞0，b＞0)B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P

(1)求证：

(2)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　(1)由条件可求得P点、A点的坐标，分别计算进行比较即可得证．(2)直线方程与双曲线方程联立，得到关于x的一元二次方程，由x1·x2＜0可得a、b、c之间的关系，从中解出e的范围． 　　解答　　(1)方法一 　　l：y＝－(x－c) 　　由得P(，) 　　∵成等比数列， 　　∴A(，0) 　　∴＝(0，－)，＝(，) 　　＝(－，)，∴·＝－ 　　·＝－．∴·＝· 　　方法二：同上得P(，)、A(，0) 　　∴PA⊥x轴，＝0 　　∴ 　　(2)由 　　得(b4－a4)x2＋2a4cx－a4c2－a2b4＝0 　　∴x1·x2＝＜0 　　∴b4＞a4即b2＞a2，c2－a2＞a2 　　∴e2＞2，e＞．