题目内容

在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人（记为甲和乙）进行比赛，每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞0.5），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求实数p的值；
（Ⅱ）如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；
（Ⅲ）设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ．

解：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
有 $\text{[math]}$ ．…（2分）
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．…（3分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．…（4分）
（Ⅱ）程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．…（8分）
注意：答案不唯一．如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换，都可以．
（Ⅲ）依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6． …（9分）
由已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ．…（11分）
∴随机变量ζ的分布列为：

ζ	2	4	6
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

故 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，又知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 $\text{[math]}$ ，用P表示出第二局比赛结束的概率，使它等于 $\text{[math]}$ 解出结果．
（Ⅱ）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件，程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．
（Ⅲ）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 $\text{[math]}$ ．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．写出分布列和期望．
点评：本题考查概率知识，考查流程图，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值与含义，正确求概率．