Question

18．已知函数f（x）=e^2ax（a∈R）的图象C过点P（1，e），奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）若在y轴右侧图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；
（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x₁，x₂，设x₁＜x₂，求证：x₁•x₂＜1．

Answer 1

分析 （1）将P（1，e）代入函数表达式，求出a的值，根据函数的奇偶性，求出b的值即可；
（2）问题转化为$k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，记$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，根据函数的单调性求出k的范围即可；
（3）求出x₁•x₂的表达式，得到${x_1}{x_2}=tx_1^2=t{（{\frac{lnt}{t-1}}）^2}$，…[（13分）]要证x₁x₂＜1，即证$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，问题转化为2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f（1）=e，
∴${e^{2a}}=e⇒a=\frac{1}{2}$，…[（2分）]，
∵g（x）=kx+b为奇函数，
∴b=0；…[（4分）]
（2）由（1）知f（x）=e^x，g（x）=kx，…[（5分）]
因为y轴右侧图象C恒在l的上方，
所以当x＞0时，e^x＞kx恒成立，…[（6分）]
∴$k＜\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，…[（7分）]
记$h（x）=\frac{e^x}{x}，x∈（{0，+∞}）$，则$h'（x）=\frac{x-1}{x^2}{e^x}$，
由h'（x）＞0⇒x∈（1，+∞），
∴h（x）在（0，1]单调减，在[1，+∞）单调增，…[（8分）]
h（x）∈[e，+∞），
∴k∈（-∞，e），…[（10分）]
证明：（3）由（2）知0＜x₁＜1＜x₂，设x₂=tx₁（t＞1），…[（11分）]
∵${e^{x_1}}=k{x_1}，{e^{x_2}}=k{x_2}$，
∴${e^{{x_2}-{x_1}}}=\frac{x_2}{x_1}⇒{e^{（{t-1}）{x_1}}}=t$，…[（12分）]
$（{t-1}）{x_1}=lnt⇒{x_1}=\frac{lnt}{t-1}$，
∴${x_1}{x_2}=tx_1^2=t{（{\frac{lnt}{t-1}}）^2}$，…[（13分）]
要证x₁x₂＜1，即证$\sqrt{t}\frac{lnt}{t-1}＜1$，令$μ=\sqrt{t}（{μ＞1}）$，
即证2μlnμ＜μ²-1⇒2μlnμ-μ²+1＜0，
令φ（μ）=2μlnμ-μ²+1（μ＞1），即证φ（μ）＜0，
$φ'（μ）=2lnμ-2μ+2⇒φ''（μ）=\frac{2}{μ}-2=\frac{{2（{1-μ}）}}{μ}$，
∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，
∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，
∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，
∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，
∴φ（μ）＜φ（1）=0，
所以x₁•x₂＜1…[（16分）]

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．