Question

在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a_n和b_n的关系式，分别求得a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a_k和b_k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．
（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a_n}，{b_n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．

解答：解：（1）由条件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25．
猜测a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²，
那么当n=k+1时，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），b_k+1=

a 2 k+2

bk

=（k+2）²．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²对一切正整数都成立．
（2）证明：

1

a1+b1

=

1

6

＜

5

12

．
n≥2时，由（1）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．
故

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

1

6

+

1

2

(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

n+1

)＜

1

6

+

1

4

=

5

12

综上，原不等式成立．

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．