Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）C₁D所在平面CDD₁C₁平行平面ABB₁A₁，即可证明C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一个法向量为=（1，1，0），利用求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）平面A₁C₁A的法向量为=（a，b，c），利用cosα=，求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）证明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥CC₁，
又CC₁?面ABB₁A₁，所以CC₁∥平面ABB₁A₁，（2分）ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD?面ABB₁A₁，所以CD∥平面ABB₁A₁，（3分）
所以平面CDD₁C₁∥平面ABB₁A₁，
所以C₁D∥平面ABB₁A₁．（4分）
（Ⅱ）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，．（5分）
在△ADA₁中，由已知可得，
所以，，，（6分）
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁D⊥B₁D₁，
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，（7分）
所以平面A₁C₁D的一个法向量为=（1，1，0），（8分）
设与n所成的角为β，
则（9分）
所以直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为．（10分）
（Ⅲ）解：设平面A₁C₁A的法向量为=（a，b，c），
则，
所以-a+b=0，，
令，可得，（12分）
设二面角D-A₁C₁-A的大小为α，
则cosα===．
所以二面角D-A₁C₁-A的余弦值为．（13分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力．