题目内容

已知向量
a
=(sinx，2cosx)，
b
=(5
3
cosx，sinx)，函数f(x)=
a
•
b
+|
a
|2+
3
2
.
（1）当x∈[
π
6
，
π
3
]时，求函数f（x）的值域；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
12
个单位后，再将所得图象上各点向下平移5个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的图象与直线x=
π
6
，x=
π
2
以及x轴所围成的封闭图形的面积．
（1）∵
a
=(sinx，2cosx)，
b
=(5
3
cosx，cosx)，
∴f(x)=
a
•
b
+|
a
|2+
3
2

=5
3
cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+
3
2

=
5
3
2
sin2x+5•
1+cos2x
2
+
5
2
=5sin(2x+
π
6
)≤1
∴
15
2
≤5sin(2x+
π
6
)+5≤10
即x∈[
π
6
，
π
3
]时，函数f（x）的值域为[
15
2
，10]
（2）由题意知，g(x)=5sin[2(x-
π
12
)+
π
6
]+5-5=5sin2xs=
∫
π
2
π
6
5sin2xdx=-
5
2
cos2x
∫
π
2
π
6
5=-
5
2
(cosπ-cos
π
3
)=
15
4

即面积为
15
4
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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