题目内容
如图，已知曲线C：
，Cn：
（n∈N*）．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再过点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）设，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
（1）求点Q1、Q2的坐标；
（2）求数列{an} 的通项公式；
（3）记数列{an•yn+1} 的前n项和为Sn，求证sn＜
．
解：（1）∵Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），
∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）
∴
．-----------------------------------（2分）
（2）∵Qn，Qn+1在曲线C上，
∴
，
，
又∵Pn在曲线Cn上，
∴
，--------------------------------（4分）
∴xn+1=xn+2-n，
∴an=2-n．-----------------------------------------（6分）
（3）xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1
=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1
=
=2-21-n．-------------------（9分）
∴an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）
=
=
=
，
∵2•2n-2≥2n，2•2n-1≥3，
∴
．--------------------------------（12分）
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
-----------------------（14分）
分析：（1）由Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），知点Pn的坐标为（xn，yn+1），由此能求出点Q1、Q2的坐标．
（2）由Qn，Qn+1在曲线C上，知，，由Pn在曲线Cn上，知，由此能求出数列{an} 的通项公式．
（3）由xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1==2-21-n，知an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）===，由此入手能够证明sn＜．
点评：本题考查点坐标的求法、求数列的通项公式、求证sn＜．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
∴点Pn的坐标为（xn，yn+1）
∴
．-----------------------------------（2分）（2）∵Qn，Qn+1在曲线C上，
∴
，，又∵Pn在曲线Cn上，
∴
，--------------------------------（4分）∴xn+1=xn+2-n，
∴an=2-n．-----------------------------------------（6分）
（3）xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1
=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1
=
=2-21-n．-------------------（9分）
∴an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）
=
=
=
，∵2•2n-2≥2n，2•2n-1≥3，
∴
．--------------------------------（12分）∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn
-----------------------（14分）分析：（1）由Qn（xn，yn），Qn+1（xn+1，yn+1），知点Pn的坐标为（xn，yn+1），由此能求出点Q1、Q2的坐标．
（2）由Qn，Qn+1在曲线C上，知
，，由Pn在曲线Cn上，知，由此能求出数列{an} 的通项公式．（3）由xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x2-x1）+x1=2-（n-1）+2-（n-2）+…+2-1+1=
=2-21-n，知an•bn=（xn+1-xn）•（yn-yn+1）===，由此入手能够证明sn＜．点评：本题考查点坐标的求法、求数列的通项公式、求证sn＜
．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化． 
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