Question

【题目】设是定义在上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当时，．

（）求的解析式．

（）若在上为增函数，求的取值范围．

（）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】分析：（）当时，，；

当时，，从而可得结果；（）由题设知，对恒成立，即对恒成立，于是，，从而；（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，即可筛选出符合题意的正整数.

详解：（）当时，，

；

当时，，

∴，

（）由题设知，对恒成立，

即对恒成立，

于是，，

从而．

（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值．

令，

计算得出．

（）若，即，

，

故此时不存在符合题意的．

（）若，即，

则在上为增函数，

于是．

令，故．

综上，存在满足题设．