Question

已知函数在上为增函数，，
（1）求的值；
（2）当时，求函数的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

(1) ;
(2) 函数的单调增区间是，递减区间为  , 有极大值为;
(3) .

试题分析：（1）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立；由此可有，由知.
(2) 令则,根据函数单调递增，函数单调递减，即函数的单调增区间是，递减区间为 ,有极大值为.
(3) 令,分情况讨论：
?当时，有，，所以：
即在恒成立，此时不存在使得成立  
?当时，
∵，∴， 又，∴在上恒成立。
∴在上单调递增，∴  
令，则故所求的取值范围为 
（1）由已知在上恒成立    
即      ∵，∴
故在上恒成立，只需
即，∴只有，由知       3分
（2）∵，∴，
∴ （4分），
令则
的变化情况如下表：

	＋	0	－
	单调增↗	极大值	单调减↘

 
即函数的单调增区间是，递减区间为   (6分）
有极大值为         7分
（3）令，
?当时，有，，所以：
即在恒成立，
此时不存在使得成立     8分
?当时，
∵，∴， 又，∴在上恒成立。
∴在上单调递增，∴    10分
令，
则故所求的取值范围为  12分