Question

在等边△ABC中，D在AB上运动，E在AC上运动，DE∥BC，将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B的平面角为60⁰，当四棱锥A-DBCE体积最大时，AD：DB等于（　　）

• A．1：1
• B．1：(

  3

  -1)
• C．1：

  2

• D．

  2

  ：

  3

Answer 1

分析：在原图中取DE的中点O，则在立体图中，可证明∠AOF是二面角A-DE-B的平面角，且可得平面AOF⊥平面BCDE，再作出等边△AOF的边OF的高AM，再证明AM是四棱锥A-BCED的高即可．

解答：解：如图所示：设BC=2，AD=2x，BD=2-2x．（0＜x＜1）．
∵DE∥BC，∴△ADE是等边三角形，取DE的中点O，则DO=OE=x，AO=

3

x．
∴S_{四边形BCDE}=S_△ABC-S_△ADE=

3

4

×22-

3

4

×(2x)2=

3

(1-x2)．
由于O是等边△ADE的边DE的中点，∴AF⊥DE．∴在第二个图中，AO⊥DE，FO⊥DE．∴∠AOF是二面角A-DE-B的平面角．
∴∠AOF=60°．又AO=OF，∴△AOF是等边三角形．
过点A作AM⊥OF，M是垂足，得AM=

3

2

×

3

x=

3

2

x．
由DE⊥平面AOF，∴平面AOF⊥平面BCED，∴AM⊥平面BCED，∴AM是四棱锥的高．
∴V_{四棱锥A-BCED}=

1

3

×

3

(1-x2)×

3

2

x=

3

2

×(x-x3)，
∴V^′=

3

2

(1-3x2)，令V^′=0，解得x=

3

3

（∵0＜x＜1）．
∵当x∈(0，

3

3

)时，V^′＞0；当x∈(

3

3

，1)时，V^′＜0．
∴函数V在区间(0，

3

3

)上单调递增，在区间(

3

3

，1)上单调递减．所以函数V在x=

3

3

时取得最大值．
∴

AD

DB

=

2x

2-2x

=

x

1-x

=

3 3

1- 3 3

=

1

3 -1

．
故选B．

点评：本题考查了四棱锥的体积，作出二面角的平面角和求出四棱锥的高是解决问题的关键．