Question

已知椭圆C：

x2

m2

+y²=1（常数m＞1），点P是C上的动点，M是右顶点，定点A的坐标为（2，0）．
（1）若M与A重合，求C的焦点坐标；
（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；
（3）若|PA|的最小值为|MA|，求m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0），可得a，即可求出C的焦点坐标；
（2）若m=3，则椭圆的方程为

x2

9

+y²=1，变形可得y²=1-

x2

9

，代入，利用配方法求|PA|的最大值与最小值；
（3）当x=m时，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，则

2m2

m2-1

≥m，且m＞1，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；
则a=2；椭圆的焦点在x轴上，则c=

3

；
则椭圆焦点的坐标为（

3

，0），（-

3

，0）；
（2）若m=3，则椭圆的方程为

x2

9

+y²=1，变形可得y²=1-

x2

9

，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

8x2

9

-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根据二次函数的性质，分析可得，
x=-3时，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最大值，且最大值为25；
x=

9

4

时，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最小值，且最小值为

1

2

；
则|PA|的最大值为5，|PA|^_的最小值为

2

2

；
（3）设动点P（x，y），
则|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；
当x=m时，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，
则

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+

2

．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．