Question

（本题满分12分）如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

（1）求的长； （2）求cos< >的值；  （3）求证：A₁B⊥C₁M.

Answer 1

（1）| |=.
（2）cos<，>=.
（3）计算·=0，推出A₁B⊥C₁M。

试题分析：如图，建立空间直角坐标系O—xyz.   

（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.。。4分
（2）依题意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）
∴=(1，－1，2)，=(0，1，2，)，·=3，||=||=
∴cos<，>=.。。。。。。。8分
（3）证：依题意，得C₁（0，0，2）、M（，2），=(－1，1，-2)，={,0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M..。。。。。12分
点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明，距离及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，可使问题简化，向量的坐标运算要准确。