Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1．数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列$\{\frac{b_n}{2^n}\}$为等差数列，并求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）由（1）得，${b_{n+1}}-2{b_n}=8{a_n}=8•{2^{n-1}}={2^{n+2}}$，变形为$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{b_n}{2^n}=2$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）解：当n=1时，a₁=S₁=2-1=1，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{2^n}-1）-（{2^{n-1}}-1）={2^{n-1}}$，
∵a₁=1满足上式，∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）证明：由（1）得，${b_{n+1}}-2{b_n}=8{a_n}=8•{2^{n-1}}={2^{n+2}}$，
∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{b_n}{2^n}=2$，又$\frac{b_1}{2}=\frac{2}{2}=1$，
∴$\{\frac{b_n}{2^n}\}$是等差数列，公差为2，首项为1，
∴$\frac{b_n}{2^n}=1+2（n-1）=2n-1$，即${b_n}=（2n-1）{2^n}$．

点评 本题考查了递推关系的意义、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．