Question

17．设点M（x₀，y₀）在直线x+y-4=0上，若圆C：x²+y²=4上存在点N，使得∠OMN=30°（O为坐标原点），则x₀的取值范围是[0，4]．

Answer 1

分析 根据圆的切线的性质，可知当过M点作圆的切线，切线与OM所成角是圆上的点与OM所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与OM构成直角三角形，因为切线与OM所成角大于等于30°所以OM小于等于半径的2倍，再用含x₀的式子表示OM，即可求出x₀的取值范围．

解答 解：过M作⊙C切线交⊙C于R，
根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．
反过来，如果∠OMR≥30°，
则⊙C上存在一点N使得∠OMN=30°．
∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．
∵|OR|=2，∴|OM|＞4时不成立，∴|OM|≤4．
又∵|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（4-x₀）²=2x₀²-8x₀+16，
∴2x₀²-8x₀+16≤16，解得，0≤x₀≤4．
∴x₀的取值范围是[0，4]，
故答案为：[0，4]．

点评 本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．