Question

若中心在原点，焦点坐标为（0，±5

2

）的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为

1

2

，则椭圆方程为（　　）

• A．

  2x2

  25

  +

  2y2

  75

  =1
• B．

  2x2

  75

  +

  2y2

  25

  =1
• C．

  x2

  25

  +

  y2

  75

  =1
• D．

  x2

  75

  +

  y2

  25

  =1

Answer 1

分析：先根据焦点坐标得出a²-b²=50，根据直线方程求出AB中点为（

1

2

，-

1

2

）．再设而不求的方法求得AB的斜率与中点坐标之间的关系式，求出a²=3b²，联解两式即可得到该椭圆的标准方程．

解答：解：设椭圆：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），则a²-b²=50①
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x₀，y₀）
∵x₀=

1

2

，∴代入直线方程得y₀=

3

2

-2=-

1

2

由

y12 a2 + x12 b2 =1 y22 a2 x22 b2 =1

，可得

y12-y22

a2

=-

x12-x22

b2

∴AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

a2

b2

•

x1+x2

y1+y2

=-

a2

b2

•

x0

y0

=3
∵

x0

y0

=-1，∴a²=3b²②
联解①②，可得a²=75，b²=25，得椭圆的方程为：

x2

25

+

y2

75

=1
故选：C

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．