Question

若中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）
A．+=1
B．+=1
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根据焦点坐标得出a²-b²=50，根据直线方程求出AB中点为（，-）．再设而不求的方法求得AB的斜率与中点坐标之间的关系式，求出a²=3b²，联解两式即可得到该椭圆的标准方程．
解答：解：设椭圆：+=1（a＞b＞0），则a²-b²=50①
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点（x，y）
∵x=，∴代入直线方程得y=-2=-
由，可得=-
∴AB的斜率k==-•=-•=3
∵=-1，∴a²=3b²②
联解①②，可得a²=75，b²=25，得椭圆的方程为：+=1
故选：C
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．