Question

已知△ABC的两顶点B（-1，0），C（1，0），周长为6
（1）求顶点A的轨迹L的方程；
（2）若关于原点对称的两点M，N在曲线L上，且已知G（-4，0），求

GM

•

GN

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．

解答：解：（1）∵△ABC的两顶点B（-1，0），C（1，0），周长为6，∴BC=2，AB+AC=4，
∵4＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，所以椭圆的标准方程是

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)
（2）M，N关于坐标原点对称，设M(x1 ，y1)，N(-x1，-y1)，

GM

=(x1+4，y1)，

GN

=（-x₁+4，-y₁）；

GM

•

GN

=-

x

2 1

-

y

2 1

+16
又

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1得

y

2 1

=3-

3

4

x

2 1

，∴

GM

•

GN

=-

1

4

 

x

2 1

+13，

x

2 1

∈[0，4)，∴

GM

•

GN

∈(12，13]．

点评：本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点