Question

 2. 已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.

（1）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

（2）求点D₁到平面B₁EF的距离.

Answer 1

(1)证明略 (2)

解析:

（1）  建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

B（2，2，0），E（2，，0），

F（，2，0），D₁（0，0，4），

B₁（2，2，4）.

=（-，，0），=（2，2，0），=（0，0，4），

∴·=0，·=0.

∴EF⊥DB，EF⊥DD₁，DD₁∩BD=D，

∴EF⊥平面BDD₁B₁.

又EF平面B₁EF，∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

（2）  由（1）知=（2，2，0），

=（-，，0），=（0，-，-4）.

设平面B₁EF的法向量为n,且n=(x,y,z)

则n⊥,n⊥

即n·=（x，y，z）·（-，，0）=-x+y=0，

n·=（x，y，z）·（0，-，-4）=-y-4z=0，

令x=1,则y=1,z=-,∴n=(1,1,- )

∴D₁到平面B₁EF的距离

d===.