Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=2

2

，M为棱A₁A上的点，若A₁C⊥平面MB₁D₁．
（Ⅰ）确定点M的位置；
（Ⅱ）求二面角D₁-MB₁-B的大小．

Answer 1

分析：方法一（Ⅰ）连结A₁D，证明△A₁MD₁∽△D₁A₁D，通过计算确定点M的位置；
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，连结D₁E，则A₁E是D₁E在平面BA₁上的射影，说明∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的补角，通过解三角形求二面角D₁-MB₁-B的大小．
方法二（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求解点M的位置；
（Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用空间向量的数量积求二面角D₁-MB₁-B的大小．

解答：解：（方法一）
（Ⅰ）连结A₁D，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ADD₁A₁为矩形，
∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，
因此A₁C在平面AD₁上的射影A₁D⊥D₁M，
∴△A₁MD₁∽△D₁A₁D，
∴A₁M=

A1 D 2 1

DD1

=

4

2 2

=

2

，因此M是A₁A的中点．…（6分）
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，连结D₁E，则A₁E是
D₁E在平面BA₁上的射影，由三垂线定理可
知D₁E⊥B₁M，
∴∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的补角，
由（Ⅰ）知，A₁M=

2

，则tanA1ED1=

A1D1

A1E

=

2

2× 2 22+2

=

3

，
∴∠A1ED1=

π

3

，
∴二面角D₁-MB₁-B等于

2π

3

．…（12分）
（方法二）
如图，在正四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz，AB=2，AA₁=2

2

，则
C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2

2

），B₁（2，0，2

2

），D₁（0，2，2

2

），
设M（0，0，Z），则

MD1

=（0，2，2

2

-z），

A1C

=（2，2，-2

2

），…（3分）
（Ⅰ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，∴

A1C

•

MD1

=0，
∴4-2

2

(2

2

-z)=0，
∴z=

2

，∴AM=

2

，
因此M是A₁A的中点．…（6分）
（Ⅱ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴

A1C

=(2，2，-2

2

)是平面MB₁D₁的一个法向量．
又平面A₁B的一个法向量为

AD

=(0，2，0)，…（8分）
∴cos＜

A1C

，

AD

＞

2×2

4+4+8 ×2

=

1

2

．
∵二面角D₁-MB₁-B是钝二面角．…（11分）
∴二面角D₁-MB₁-B等于

2π

3

．…（12分）

点评：本题考查空间想象能力以及计算能力，立体几何问题的解法有两种思路，一是几何法，一是向量法，注意解题时合理选择方法，做到简便快捷．