Question

16、如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱BC的中点．
求证：（1）AD⊥C₁D；
（2）A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）欲证AD⊥C₁D，而DC₁?平面BCC₁B₁，可先证AD⊥平面BCC₁B₁，而三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，则C₁C⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
根据线面垂直的性质可知C₁C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，从而AD⊥BC，又BC∩C₁C=C，满足定理所需条件；
（2）欲证A₁B∥平面ADC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁B与平面ADC₁内一直线平行即可，连接A₁C交AC₁于点E，再连接DE，根据中位线可知ED∥A₁B，又A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，满足定理所需条件．

解答：证明：（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以C₁C⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以C₁C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，
所以AD⊥BC，因为BC∩C₁C=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，
又因为DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥C₁D；（6分）
（2）连接A₁C交AC₁于点E，再连接DE．
因为四边形A₁ACC₁为矩形，所以E为A₁C的中点，
又因为D为BC的中点，所以ED∥A₁B．
又A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．（14分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和性质定理，以及直线与平面平行的判定，同时考查了学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．