Question

【题目】如图，在四楼锥中，面，，.

（1）求的长.

（2）求直线与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）可证平面，从而得到后可计算的长.

（2）在直角梯形中可计算出，再利用等积法求出到平面的距离（可转化到平面的距离），从而可得线面角的正弦值.

解：（1）平面，，

又，

平面ABCD，

是直角三角形，

由已知，.

（2）解法1：

平面，，

如图，在直角梯形中，过作，交于.

故，所以.

设到平面的距离为，直线与平面所成的角为

则.

，面，面，平面，∴ 到平面的距离也为.

在三棱锥中，，

平面ABCD，.

又，

，

，

即直线与面所成角的正弦值为.

解法2：由（1）知平面ABCD，过作于，则，

如图以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

则

设平面的法向量为，

则由，得

令.可得.

设直线与面所成角为.

则，即直线与面所成角的正弦值为