Question

（2012•淮南二模）已知双曲线

x2

a2

-

y

b2

2=1（a＞0，b＞0）一条渐近线与直线

3

x-y+2=0平行，离心率为e，则

a2+e

b

的最小值为（　　）

• A．

  6

• B．

  4 6

  3

• C．

  2 6

  3

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：根据双曲线一条渐近线与直线

3

x-y+2=0平行，得b=

3

a，从而得出离心率e=

c

a

=2．代入式子

a2+e

b

，化简为关于a的表达式，再结合基本不等式，即可得到要求的最小值．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y

b2

2=1渐近线方程为y=±

b

a

x，且一条渐近线与直线

3

x-y+2=0平行，
∴

b

a

=

3

，得b=

3

a
因此c=

a2+ b2

=2a，离心率e=

c

a

=2
∴

a2+e

b

=

a2+2

3 a

=

3

3

a+

2 3

3a

∵a＞0，得

3

3

a+

2 3

3a

≥2

3 3 a× 2 3 3a

=

2 6

3

∴当且仅当

3

3

a=

2 3

3a

=

6

3

时，即a=

2

时，

a2+e

b

的最小值为

2 6

3

故选C

点评：本题在双曲线中，求关于a、b、e的式子的最小值，着重考查了双曲线的简单几何性质和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．