题目内容
已知数列{an}中，a1=
且对任意非零自然数n都有an+1=
an+（
）n+1．数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1-
an．（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【答案】分析：（1）利用等比数列的定义找寻数列中相邻项之间的关系，从而确定出数列的等比性是解决本题的关键，要用好数列相邻项之间的关系．
（2）利用数列{bn}是等比数列，先写出数列{bn}的通项公式，进而得出数列{an}与{bn}的关系，进而写出数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）证明：bn=an+1-
an=[
an+（
）n+1]-
an=（
）n+1-
an，bn+1=（
）n+2-
an+1=（
）n+2-
[
an+（
）n+1]=
•（
）n+1-
an-
•（
）n+1=
•（
）n+1-
an=
•[（
）n+1-
an]，
∴
=
（n=1，2，3，…）．
∴{bn}是公比为
的等比数列．
（2）解：∵b1=（
）2-
a1=
-
•
=
，
∴bn=
•（
）n-1=（
）n+1．
由bn=（
）n+1-
an，得（
）n+1=（
）n+1-
an，解得an=6[（
）n+1-（
）n+1]．
点评：本题考查等比数列的判定，利用相邻项之间的关系确定出后一项与这一项的商为常数，考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算化简能力．
（2）利用数列{bn}是等比数列，先写出数列{bn}的通项公式，进而得出数列{an}与{bn}的关系，进而写出数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）证明：bn=an+1-
an=[
an+（
）n+1]-
an=（
）n+1-
an，bn+1=（
）n+2-
an+1=（
）n+2-
[
an+（
）n+1]=
•（
）n+1-
an-
•（
）n+1=
•（
）n+1-
an=
•[（
）n+1-
an]，∴
=
（n=1，2，3，…）．∴{bn}是公比为
的等比数列．（2）解：∵b1=（
）2-
a1=
-
•
=
，∴bn=
•（
）n-1=（
）n+1．由bn=（
）n+1-
an，得（
）n+1=（
）n+1-
an，解得an=6[（
）n+1-（
）n+1]．点评：本题考查等比数列的判定，利用相邻项之间的关系确定出后一项与这一项的商为常数，考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算化简能力．
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D、
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