Question

6．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂的值，并求$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}$的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{a_n}的前n项和S_n，证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

分析 （I）利用已知求出a₂，利用递推关系代入$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}$，即可得出．
（II）由$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=4$，且a₁-1=1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅲ）数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{{4^n}-1}}{3}+\frac{n（n+1）}{2}$．对任意的n∈N^*，a₁=2，作差S_n+1-4S_n，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，得a₂=4×2-3×1+1=6，
∴$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=\frac{{4{a_n}-3n+1-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=\frac{{4{a_n}-4n}}{{{a_n}-n}}=4$．
（II）由$\frac{{{a_{n+1}}-（n+1）}}{{{a_n}-n}}=4$，且a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
∴${a_n}-n={4^{n-1}}$，于是数列{a_n}的通项公式为${a_n}={4^{n-1}}+n$．
（Ⅲ）证明：数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{{4^n}-1}}{3}+\frac{n（n+1）}{2}$．
对任意的n∈N^*，a₁=2，S_n+1-4S_n=$-\frac{1}{2}（3{n^2}+n-4）≤0$．
∴不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．