Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，原点到过点A（a，0），B（0，b）的直线的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上一动点P（x，y）关于直线y=2x的对称点为P₁（x₁，y₁），求x₁²+y₁²的取值范围．
（3）如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率，a²=b²+c²，及其点到直线的距离公式即可得到a，b；
（2）利用轴对称即可得到点P（x，y）与其对称点P₁（x₁，y₁）的坐标之间的关系，再利用点P（x，y）满足椭圆C的方程：得到关系式，进而即可求出；
（3）设E（x₂，y₂），F（x₃，y₃），EF的中点是M（x_M，y_M），则BM⊥EF得到关系式，把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可．
解答：解：（1）∵，a²=b²+c²，
∴a=2b．
∵原点到直线AB：的距离，
解得a=4，b=2．
故所求椭圆C的方程为．
（2）∵点P（x，y）关于直线y=2x的对称点为点P₁（x₁，y₁），
∴
解得 ，．
∴．
∵点P（x，y）在椭圆C：上，
∴．
∵-4≤x≤4，∴．
∴的取值范围为[4，16]．
（3）由题意消去y，整理得（1+4k²）x²+8kx-12=0．
可知△＞0．
设E（x₂，y₂），F（x₃，y₃），EF的中点是M（x_M，y_M），
则，
则，y_M=kx_M+1=．
∴．
∴x_M+ky_M+2k=0．
即．
又∵k≠0，
∴．
∴．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法，熟悉解题模式是解题的关键．