Question

（1）已知α，β都为锐角，sinα=

1

7

，cos(α+β)=

5 3

14

，求sinβ与cosβ的值
（2）已知tanα=

1

3

，tanβ=-2，0°＜α＜90°，270°＜β＜360° 求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）由α与β都为锐角，以及sinα与cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sin（α+β）的值，根据β=[（α+β）-α]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算求出sinβ的值，再利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosβ的值；
（2）根据tanα的值及α的范围，确定出α的具体范围，进而确定出α+β的范围，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+β），将各自的值代入计算求出值，再利用特殊角的三角函数值即可确定出α+β的值．

解答：解：（1）∵α，β都为锐角，sinα=

1

7

，cos（α+β）=

5 3

14

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4 3

7

，sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

11

14

，
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

11

14

×

4 3

7

-

5 3

14

×

1

7

=

39 3

98

，
cosβ=

1-sin2β

=

71

98

；
（2）∵tanα=

1

3

＜1，tanβ=-2，0＜α＜45°，270°＜β＜360°，
∴270°＜α+β＜405°，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 3 -2

1+ 1 3 ×2

=-1，
则α+β=315°．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．