Question

【题目】在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题设得知，再证明平面，可得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）先利用等体积法计算出点到平面的距离，然后利用作为直线与平面所成的角的正弦值，即可得出直线与平面所成的角的大小；

（3）先根据条件分析出所求距离为点到平面距离的，可得出点到平面的距离为，再利用第二问的结论即可得出答案.

（1）以为直径的球面交于点，则，

平面，平面，，

四边形为矩形，.

,平面，平面，.

，平面；

（2）由（1）知，平面，平面，，

又，则为的中点，且，.

的面积为.

的面积为，

为的中点，所以，，

设点到平面的距离为，由，得，

.

设直线与平面所成角的大小为，则.

因此，直线与平面所成角的大小为；

（3）平面，平面，，

，，

，且，则，

得，，

故点到平面的距离是点到平面的距离的.

又是的中点，则、到平面的距离相等，

由（2）可知所求距离为.