Question

（1）将形如

.

а11 а12 а21 а22

.

的符号称二阶行列式，现规定

.

а11 а12 а21 а22

.

=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁．
试计算二阶行列式

.

cos π 4       1 1 cos π 3

.

的值；
（2）已知tan（

π

4

+a）=-

1

2

，求

sin2a-2cos2a

1+tana

．

Answer 1

分析：（1）由于

.

а11 а12 а21 а22

.

=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁，根据这个规定可以所求二阶行列式的结果．
（2）把所求式子的分子第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，分母第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，然后利用同角三角函数间的基本关系化简，将求出的tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）

.

cos π 4       1 1 cos π 3

.

=cos

π

4

cos

π

3

-1=

2

4

-1；
（2）∵tan（

π

4

+a）=-

1

2

，∴

1+tanα

1-tanα

=-

1

2

，
整理得：2+2tanα=-1+tanα，
解得：tanα=-3；…（4分）

sin2a-2cos2a

1+tana

=

2sinαcosα-2cos2α

1+tanα

=

2sinαcosα-2cos2α

(1+tanα)(sin2α+cos2α)

=

2tanα-2

(1+tanα)(tan2α+1)

=

-6-2

-2×10

=

2

5

．…（8分）
故答案为：

2

5

．

点评：本题考查了二阶矩阵、三角函数的恒等变换及化简求值，考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．