Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．
（I）求椭圆C的方程；
（II）F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若•=-，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意长轴长为4求得a的值，在有椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，）建立方程求解即可；
（II）由于圆O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据•=-建立k的方程求k．
解答：解：（I）有题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，
∵点在椭圆上，∴ 解得：b²=3
椭圆的方程为：；
（II）由直线l与圆O相切，得：
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）    由，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴，，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²==∴=
∵m²=1+k²∴，
解得：，
∴．
点评：此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．