Question

【题目】已知函数，（ 且）为定义域上的增函数， 是函数的导数，且的最小值小于等于0.

（1）求的值；

（2）设函数，且，求证： .

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由为增函数可得， 恒成立，可转化为恒成立，求的最小值.可得的值.

（2）由，可得，

令，构造并求值域，可得，解不等式可得.

试题解析：（1），

由为增函数可得， 恒成立，则由 ，设，则，若由和可知 在 上减，在 上增，在1处取得极小值即最小值，所以，所以，当时，易知，当时，则，这与矛盾，从而不能使得恒成立，所以.

由可得， ，即，由之前讨论可知， ，当时， 恒成立 ，当时， ，综上.

（2），因为，所以，所以

， ，

所以，

令， ， ， 在上增，在上减， ，所以，整理得，解得或（舍），所以得证.