Question

【题目】已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由题设知， ， ，又，解得，由此可得求椭圆的方程；（2）①，则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两实根，故，即可证明结果；②考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.

由，得，于是有，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即可证明直线过定点.

试题解析：（1）由题设知， ， ，又，

解得.

故所求椭圆的方程是.

（2）①，则有，化简得，

对于直线，同理有，

于是是方程的两实根，故.

考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.

由，得，于是有.

直线的斜率为，

直线的方程为，

令，得，

故直线过定点.