题目内容

定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=
Ax0+By0+C
A2+B2
．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：
①若d1-d2=0，则直线P1P2与直线l平行；
②若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行；
③若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直；
④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交；
其中正确命题的序号是
④
④
．
分析：根据有向距离的定义，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．
解答：解：设点P1，P2的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），则d1=
Ax1+By1+C
A2+B2
，d2=
Ax2+By2+C
A2+B2
．
①若d1-d2=0，则若d1=d2，即
Ax1+By1+C
A2+B2
=
Ax2+By2+C
A2+B2
，
∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，
∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，
则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．
②由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，
但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，
则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．
③由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，
但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，
则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴③错误．
④若d1•d2＜0，则
Ax1+By1+C
A2+B2
?
Ax2+By2+C
A2+B2
＜0，
即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，
∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，
∴直线P1P2与直线l相交，
∴④正确．
故答案为：④．
点评：本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强．
练习册系列答案
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已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=
12
x2+2ax ，  g(x)=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线有公共点P（x0，y0），且在点P（x0，y0）处的切线是同一条直线．
（1）若a=1，求P（x0，y0）及b的值；
（2）用a来表示b，并求b的最大值．
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|Ax0+By0+Cz0+D|
A2+B2+C2
．则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于
 
．
设
a
=(x1，y1)，
b
=(x2，y2)，定义一种运算：
a
⊕
b
=（x1x2，y1y2）．已知
p
=(
8
π
，2)，
m
=(
1
2
，1)，
n
=(
π
4
，-
1
2
)．
（1）证明：（
p
⊕
m
）⊥
n
；
（2）点P（x0，y0）在函数g（x）=sinx的图象上运动，点Q（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，且满足
OQ
=
m
⊕
OP
+
n
（其中O为坐标原点），求函数f（x）的单调递减区间．
（2013•杭州一模）已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）当a=-1时，过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（m，n），求实数m的值；
（Ⅲ）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x），当x≠x0时，若
g(x)-h(x)x-x0
＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，试问函数y=f（x）是否存在“转点”．若存在，请求出“转点”的横坐标，若不存在，请说明理由．

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