题目内容
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则PA=________；EC=________．
3 4
分析：利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．
解答：∵PA是圆O的切线，
∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3
∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC
∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△ADE中，PE=PA，
∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
故答案为：3，4
点评：本题在圆中给出切线，并且以切线长为一边作正三角形的情况下，求线段的长度．着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识，属于基础题．
分析：利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．
解答：∵PA是圆O的切线，
∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3
∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC
∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△ADE中，PE=PA，
∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
故答案为：3，4
点评：本题在圆中给出切线，并且以切线长为一边作正三角形的情况下，求线段的长度．着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识，属于基础题．
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（选修4-1：几何证明选讲）
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
[选做题]