Question

已知曲线C：y=3x⁴﹣2x³﹣9x²+4

（1）求曲线C上切点的横坐标为1的切线l的方程

（2）第（1）问中的切线l与曲线C是否还有其他公共点？如果有，请求出交点坐标．

Answer 1

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．

（2）由（1）得出的切线方程与y=3x⁴﹣2x³﹣9x²+4组成方程组，解得两组解，从而得出切线与曲线C还有其他的公共点．

解答：

解：（1）y'=12x³﹣6x²﹣18x，

y'|_x=1=12×1³﹣6×1²﹣18×1=﹣12，

而切点的坐标为（1，﹣4）

∴曲线y=3x⁴﹣2x³﹣9x²+4在x=1的处的切线方程为：y+4=﹣12（x﹣1），即12x+y﹣8=0；

（2）由方程组：

解得：或

故切线与曲线C还有其他的公共点：（﹣2，32）．

点评：

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力和方程思想，属于基础题．