Question

已知椭圆3x²+y²=12,过原点且倾斜角分别为θ和π-θ(0＜θ≤)的两条直线分别交椭圆于点A、C和点B、D,则四边形ABCD的面积的最大值等于____________,此时θ=__________.

Answer 1

答案： 12  由对称性,知四边形ABCD为矩形.

设AC的方程为y=kx,∵θ∈(0,］,∴0＜k≤1.与3x²+y²=12联立得3x²+k²x²=12,x²=,y²=,x²y²=.

∵t=k²+在k²∈(0,3)时为减函数,k²∈(3,+∞)时为增函数,又∵0＜k≤1,

∴k²=1时,t取最小值10.∴x²y²≥,|xy|≥.

∴S_{四边形ABCD}的最大值为4|xy|=12,此时θ=.