题目内容
已知直线l：y=x+1与椭圆3x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，（1）求证：OA⊥OB；
（2）如果直线l向下平移1个单位得到直线m，试求椭圆截直线m所得线段的长度．
【答案】分析：（1）由
解得
．由此能够证明OA⊥OB．
（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，联立得到
解得 
或
，由此能求出截得的线段长．
解答：解：（1）证明：直线l：y=x+1与椭圆3x2+y2=2相交于A，B两点，
得
，
消去y得4x2+2x-1=0，
解得
，
所以
．
所以
∴
，
∴OA⊥OB．
（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，
联立得到
，
解得
或
，
所以截得的线段长为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
解得．由此能够证明OA⊥OB．（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，联立得到
解得 或，由此能求出截得的线段长．解答：解：（1）证明：直线l：y=x+1与椭圆3x2+y2=2相交于A，B两点，
得
，消去y得4x2+2x-1=0，
解得
，所以
．所以
∴
，∴OA⊥OB．
（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，
联立得到
，解得
或，所以截得的线段长为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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