题目内容

已知直线l：y=x+1与椭圆3x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）如果直线l向下平移1个单位得到直线m，试求椭圆截直线m所得线段的长度．
分析：（1）由
y=x+1
3x 2+y2=2
解得A(
-1+
5
4
，
3+
5
4
)，B(
-1-
5
4
，
3-
5
4
)．由此能够证明OA⊥OB．
（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，联立得到
y=x
3x2+y2=2
解得  
x=
2
2
y=
2
2
或
x=-
2
2
y=-
2
2
，由此能求出截得的线段长．
解答：解：（1）证明：直线l：y=x+1与椭圆3x2+y2=2相交于A，B两点，
得
y=x+1
3x 2+y2=2
，
消去y得4x2+2x-1=0，
解得x1=
-1+
5
4
，x2=
-1-
5
4
，
所以A(
-1+
5
4
，
3+
5
4
)，B(
-1-
5
4
，
3-
5
4
)．
所以
OA
•
OB
=(
-1+
5
4
，
3+
5
4
)(
-1-
5
4
，
3-
5
4
)=0
∴
OA
⊥
OB
，
∴OA⊥OB．
（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，
联立得到
y=x
3x2+y2=2
，
解得
x=
2
2
y=
2
2
或
x=-
2
2
y=-
2
2
，
所以截得的线段长为2．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知直线l：y=x+k经过椭圆C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1，(a＞1)的右焦点F2，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，试求椭圆C的方程．
已知直线l：y=x+1和圆C：x2+y2=
12
，则直线l与圆C的位置关系为
相切
相切
．
已知直线l：y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点为（
2
3
， 
1
3
)．
（1）求此椭圆的离心率．
（2）若椭圆右焦点关于直线l：y=-x+1的对称点在圆x2+y2=5上，求椭圆方程．
（2012•菏泽一模）已知直线l：y=x+
6
，圆O：x2+y2=5，椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
3
．直线l截圆O所得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线．若切线都存在斜率，求证这两条切线互相垂直．
已知直线l：y=x+2，与抛物线x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）两点，l与x轴交于点C（xC，0）．
（1）求证：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直线l与抛物线所围平面图形的面积；
（3）某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时（如图1所示），尝试拖动改变直线l与抛物线的方程，发现
1
xA
+
1
xB
与
1
xC
的结果依然相等（如图2、图3所示），你能由此发现出关于抛物线的一般结论，并进行证明吗？精英家教网

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