Question

已知函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*
（1）求S_n及a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2log₂a_n+1，记
（n∈N^*），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）将点A（1，1）、B（2，3）f（x）=m•2^x+t，确定出f（x）=2^x-1，得出S_n=2ⁿ-1，根据Sn与an的固有关系an=求a_n
（2）由（1）可知b_n=2log₂a_n+1=2（n-1）+1=2n-1，∴==，裂项后求出═，易证不等式成立．
解答：解：（1）∵函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1）、B（2，3）
∴解之得∴f（x）=2^x-1
∵函数f（x）=m•2^x+t的图象经过C（n，S_n）∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）
∴当n=1时，S₁=a₁=1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1∴a_n=2^n-1
（2）由（1）可知b_n=2log₂a_n+1=2（n-1）+1=2n-1，则
∴=
=…（8分）
∴=
=
=（n∈N^*）…（
∵在n∈N^*上单调递增
∴当n=1时=
∵∴
综上可得…（12分）
点评：本题是函数与不等式、数列的综合题，考查待定系数法、数列通项公式、裂项法求和，数列的函数性质，以及不等式的证明．