Question

已知如图，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABD=45°，∠CBD=30°．
（Ⅰ）异面直线AB、CD所成的角为α，异面直线AC、BD所成的角为β，求证：α=β；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值的绝对值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明AO⊥面BCD，建立空间直角坐标系，确定向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得结论；
（Ⅱ）求出平面ABC、平面ACD一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-AC-D的余弦值的绝对值．
解答：（Ⅰ）证明：设BD的中点为O，∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠BDA=45°，即AB=AD，∴AO⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥面BCD．
以过O点垂直于BD的直线为x轴，以直线BD为y轴，以直线OA为z，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设．
∴，
∴，，
∴，．
∵0°＜α，β≤90°，∴α=β．…6分
（Ⅱ）解：设分别是平面ABC、平面ACD一个法向量，
∴，即，
∴，不妨取，得．
同理可求得，
∴，
所以二面角B-AC-D的余弦值的绝对值为．…12分．
点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，确定平面的法向量，正确利用公式是关键．