Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为和，

单调递减区间为（Ⅲ）

【解析】函数的定义域为，．………1分

（Ⅰ）当时，函数，，．

所以曲线在点处的切线方程为，

即．………………………3分

（Ⅱ）函数的定义域为．

（1）当时，在上恒成立，

则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分

（2）当时，，

（ⅰ）若，

由，即，得或； ………………5分

由，即，得．………………………6分

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为． ……………………………………7分

（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………8分

（Ⅲ））因为存在一个使得，

则，等价于.…………………………………………………9分

令，等价于“当 时，”.

对求导，得.……………………………………………10分

因为当时，，所以在上单调递增. ……………12分

所以，因此. …………………………………………13分

另【解析】
设，定义域为，

.

依题意，至少存在一个，使得成立，

等价于当 时，. ………………………………………9分

（1）当时，

在恒成立，所以在单调递减，只要，

则不满足题意.…… 10分

（2）当时，令得.

（ⅰ）当，即时，

在上，所以在上单调递增，

所以，由得，，所以.………11分

（ⅱ）当，即时，

在上，所以在单调递减，

所以，由得.………………12分

（ⅲ）当，即时， 在上，在上，

所以在单调递减，在单调递增，

，等价于或，解得，所以，.

综上所述，实数的取值范围为.………………………………………13分