Question

下列命题中，其正确的命题为______
①|x+

1

x

|的最小值是2；
②sin2α+

1

sin2α

的最小值是2；
③log₂x+log_x2的最小值是2；
④0＜x＜

π

2

，tanx+

1

tanx

的最小值是2；
⑤3^x+3^-x的最小值是2．

Answer 1

由基本不等式可得，当x=1 或x=-1时，y=|x+

1

x

|有最小值等于2，故①满足条件；
由基本不等式，得当sinα=±1时，y=sin2α+

1

sin2α

有最小值等于2，故②满足条件；
当x=

1

2

时，y=log₂x+log_x2=-1+（-1）=-2，故③不满足条件；
由于 0＜x＜

π

2

时，tanx＞0，故 y=tanx+cotx≥2，故④满足条件；
由基本不等式可得 y=3^x+3^-x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，故⑤满足条件．
故答案为：①②④⑤．