Question

下列命题中，其正确的命题为

①②④⑤

①|x+

1

x

|的最小值是2；
②sin2α+

1

sin2α

的最小值是2；
③log₂x+log_x2的最小值是2；
④0＜x＜

π

2

，tanx+

1

tanx

的最小值是2；
⑤3^x+3^-x的最小值是2．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得①②④⑤满足条件；通过给变量取特殊值，举反例可得③不满足条件．

解答：解：由基本不等式可得，当x=1 或x=-1时，y=|x+

1

x

|有最小值等于2，故①满足条件；
由基本不等式，得当sinα=±1时，y=sin2α+

1

sin2α

有最小值等于2，故②满足条件；
当x=

1

2

时，y=log₂x+log_x2=-1+（-1）=-2，故③不满足条件；
由于 0＜x＜

π

2

时，tanx＞0，故 y=tanx+cotx≥2，故④满足条件；
由基本不等式可得 y=3^x+3^-x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，故⑤满足条件．
故答案为：①②④⑤．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．